P(A/B) = P(B/A) x P(A) / P(B)
ou en clair : la probabilité de A sachant B est égale à la probabilité de B sachant A multipliée par la probabilité de A divisée par la probabilité de B.
Application : un jeu avec un organisateur, un joueur, 3 gobelets opaques et une boule.
L'organisateur, à l'abri du regard du joueur, cache la boule dans un gobelet.
1ère étape : l'organisateur demande au joueur de désigner le gobelet contenant la boule et d'estimer ses chances de succès. Le joueur désigne au hasard l'un des 3 gobelets (ex. n° 1) et indique qu'il a une chance sur 3 de gagner. Parfait !
2e étape : l'organisateur montre que l'un des 2 gobelets non désignés ne cache pas la boule et demande au joueur de désigner l'un des 2 gobelets restants et d'estimer ses chances de succès. Le joueur désigne le même gobelet que précédemment (n°1) et indique qu'il n'a plus que 2 possibilités et donc qu'il a désormais une chance sur 2 de gagner. FAUX !!! Vous êtes surpris ? ... :-)
Appliquez la formule de Bayes et vous verrez que la boule a une chance sur 3 d'être dans le gobelet désigné (n°1) et 2 chances sur 3 d'être dans le 2nd gobelet. Etrange me direz-vous ? Oui mais c'est bien Bayes qui a raison !
Sans appliquer sa formule, on peut aussi raisonner de la manière suivante :
- Si l'organisateur sait que le gobelet n°1 est vide, il n'a alors pas d'autre choix que de montrer parmi les 2 autres celui qui est vide... et celui qui reste est le bon.
- Si le joueur a de la chance dès le 1er choix, l'organisateur peut alors choisir n'importe lequel des 2 autres gobelets mais cela n'arrive qu'une fois sur 3.
Conclusion : on a tout intérêt à changer d'avis à la 2nde étape car :
- si on s'est trompé à la 1ère étape (ce qui arrive 2 fois sur 3), on aura raison à la 2nde.
- si on a eu raison à la 1ère étape, on perd à la seconde mais ça n'arrive qu'une fois sur 3.
That's it!
